Основные представления о специальной и общей теории относительности
оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с
линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не
будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в
системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' =
|A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше.
Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат
интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и
отрицательным.
Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 -
пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.
Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет
возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно -
временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал
со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также
возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События,
разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно
обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic].
2.7 Замедление времени
Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x'
= 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со
скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени,
определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет,
тогда, определить показания движущихся часов:
|t' = t |(17) |
| | |
|________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |
Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной
системы отсчета, замедляется.
Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно
замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения
наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся"
часы взаимно отстают друг от друга.
С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс
близнецов (см. ниже раздел "Задачи").
Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было
экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом
в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов,
двигавшихся со скоростью v ? c, в 6 ч8 раз по сравнению с временем жизни
неподвижных мюонов.
Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада
мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была
построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.
2.8 Лоренцево сокращение длины
Стержень, расположенный вдоль оси 0'X' движущейся системы отсчета и
покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для
простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по
часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются
преобразованием Лоренца:
|x1 = 0, x2 = l = l0 |(18) |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |
Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается
в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца
- Фитцджеральда.
Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что
объем тела также уменьшается:
|V = V0 |(19) |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |
3 Динамика специальной теории относительности
3.1 Энергия и импульс частицы
Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе
покоя частицы - массу покоя.
Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной
инерциальной системе отсчета со скоростью [pic], называется векторная
величина [pic], определяемая формулой
| |(20) |
|> | |
|p | |
| | |
|= | |
|m | |
|> | |
|v | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (v/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |
Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в
классической механике. При v/c > 0, [pic]> m [pic] (с точностью до
линейных по v/c слагаемых).
Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E,
определяемая выражением
|E = |(21) |
|m c2 | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (v/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |
Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и
энергия в ньютоновской механике.
Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится,
называется ее энергией покоя E0:
|E0 = |
|mc2. |
| |
При ? = v/c > 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть
записано в виде
|E = mc2 + |
|m v2 |
|[pic] |
|2 |
|= E0 + |
|m v2 |
|[pic] |
|2 |
|. |
| |
Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в
классической теории. Разность E - mc2 = T называют кинетической энергией
релятивистской частицы.
Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:
| |(22) |
|> | |
|v | |
| | |
|= c2 | |
| | |
|> | |
|p | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
|E | |
|. | |
| | |
3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса
Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг
относительно друга со скоростью V в направлении оси x.
Закон преобразования для величин (E, [pic]) и (E', [pic]'),
измеряемых в системах S и S', имеет форму преобразования (23):
|E' = |(23) |
|E - V px | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (V/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, px' = | |
|px - E V/c2 | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (V/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, py' = py, pz' = pz. | |
| | |
Таким образом,энергия и импульс частицы зависят от выбора системы
отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из
формул (23) следует, что
| |
|? |
|? |
|? |
| |
|E' |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
|- |
|> |
|p |
| |
| '2 = |
|? |
|? |
|? |
| |
|E |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
|- |
|> |
|p |
| |
| 2 = m2 c2, |
| |
из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета
и, следовательно, является релятивистским инвариантом.
[pic]
Рис. 10
Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее
энергию и импульс в релятивистской физике:
[pic]
.
Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых
значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах
E = p c.
Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую
массу" частицы, зависящую от скорости:
|m(v) = |
|m |
|[pic] |
| |
| |
| ________ |
|?1 - (v/c)2 |
| |
| |
| |
| |
|. |
| |
Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и
массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к
путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим
спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса -
инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора
системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в
системе покоя частицы.
Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([?(1 -
(v/c)2)])] лишено физического смысла!
3.3 Частицы с нулевой массой покоя
Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то
энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что
частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью
света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют
частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света.
Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны
соотношением:
|| |
|> |
|p |
| |
|| = |
|E |
|[pic] |
|c |
|, |
| |
откуда следует, что здесь
|(E/c)2 - |
|> |
|p |
| |
| 2 |
| |
|= 0 |
| |
в соответствии с тем, что m = 0.
К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты
электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в
разделе "Квантовая теория" - задание N 5.
3.3 Релятивистский эффект Доплера
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну
|E( |(23) |
|> | |
|r | |
| | |
| ,t) = E0 cos | |
|? | |
|? | |
| | |
|> | |
|k | |
| | |
|· | |
|> | |
|r | |
| | |
|- ? t | |
|? | |
|? | |
|. | |
| | |
Здесь ?- частота волны, а [pic]= k [pic] - волновой вектор (k =
[(?)/( c)] - волновое число, [pic]- единичный вектор в направлении
распространения волны (см. Рис. 11).)
[pic]
Рис. 11
Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе
в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать,
что волна распространяется под углом ? к оси 0x, вдоль которой со скоростью
V движется "штрихованная" система отсчета S'. Из Рис. 11 видно, что
существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля
обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен
нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно
выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза
электромагнитной волны должна быть инвариантна!
| |
|> |
|k |
| |
|· |
|> |
|r |
| |
|- ?t = |
|> |
|k |
| |
|' |
| |
|· |
|> |
|r |
| |
|' |
| |
|-?' t'. |
| |
В декартовых координатах это условие принимает вид:
|kx x +ky y + kz z -? t = kx' x' |(24) |
|+ky' y' + kz' z' - ?' t'. | |
| | |
Поскольку x, y, z, t связаны с x', y', z', t' преобразованием Лоренца , то
для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись
преобразования
|?' = |(25) |
|?- V kx | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, kx' = | |
|kx - V/c2 ? | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, ky' = ky, kz' = kz. | |
| | |
Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить
его выполнение.
Найдем теперь связю между частотой ?0 в системе источника волны и
частотой ? той же волны в системе наблюдателя.
Полагая в первой формуле из (25) ?' = ?0, kx = [(?)/( c)] cos?, где
?- угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя
(приемника), найдем
|? = ?0 |(26) |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
|1 - (V/c)cos? | |
|. | |
| | |
Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны,
вызанное относительным движением источника и приемника.
При V/c 0) и убывает
при их удалении (V|| < 0) продольный эфект Доплера. Если относительная
скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos? = 0), то уменьшение
частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:
|?? = - |
|?0 |
|[pic] |
|2 |
| |
|? |
|? |
|? |
| |
|V |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
| |
| |
- поперечный эффект Доплера.
При выводе последних двух формул учтено, что при V/c << 1
| |
|1 |
|[pic] |
|1 - (V/c)cos? |
|? 1 + (V/c)cos?, |
| |
| ________ |
|?1 - (V/c)2 |
| |
|? 1 - (V/c)2/2. |
| |
Красное смещение (в сторону волн большей длины) наблюдаемое на Земле в
спектрах излучения далеких галактик по сравнению с эталонными линиями
интерпретируется как эффект раширения Метагалактики (наблюдаемой части
Вселенной) - взаимного удаления галактик друг от друга. В 1928 г. Э.
Хабблом было обнаружено, что скорости разбегания галактик приблизительно
пропорциональны расстоянию до них:
|v ~ |
|H R. |
| |
Константа Хаббла H ? 50 ч100 км/(с·Мпк). Значение H-1 ? 13 млрд. лет
определяет время, истекшее с начала расширения Метагалактики при условии
постоянной скорости расширения.
Заключение
ОТО — завершенная физическая теория. Она завершена в том же смысле,
что и классическая механика, классическая электродинамика, квантовая
механика. Подобно им, она дает однозначные ответы на физически осмысленные
вопросы, дает четкие предсказания для реально осуществимых наблюдений и
экспериментов. Однако, как и всякая иная физическая теория, ОТО имеет свою
область применимости. Так, вне этой области лежат сверхсильные
гравитационные поля, где важны квантовые эффекты. Законченной квантовой
теории гравитации не существует.
ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее
основе лежит, по существу, всего один экспериментальный факт, к тому же
известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле тяжести с одним и
тем же ускорением). Удивительна тем, что она создана в большой степени
одним человеком. Но прежде всего ОТО удивительна своей необычайной
внутренней стройностью, красотой. Не случайно Ландау говорил, что истинного
физика-теоретика можно распознать по тому, испытал ли человек восхищение
при первом же знакомстве с ОТО.
Примерно до середины 60-х годов ОТО находилась в значительной мере
вне основной линии развития физики. Да и развитие самой ОТО отнюдь не было
весьма активным, оно сводилось в большой степени к выяснению определенных
тонких мест, деталей теории, к решению пусть важных, но достаточно частных
задач.
Вероятно, одна из причин такой ситуации состоит в том, что ОТО
возникла в некотором смысле слишком рано, Эйнштейн обогнал время. С другой
стороны, уже в его работе 1915 года теория была сформулирована в достаточно
завершенном виде. Не менее важно и то обстоятельство, что наблюдательная
база ОТО оставалась очень узкой. Соответствующие эксперименты чрезвычайно
трудны. Достаточно напомнить, что красное смещение удалось измерить лишь
спустя почти 40 лет после того, как было обнаружено отклонение света в поле
Солнца.
СТО возникла больше для решения специальных задач и никоим образом
не противоречит принципам ОТО. Она лишь дополнение реального состояния
науки с точки зрения потребности современной физики и естествознания.
Релятивизм не мертв, он лишь отражение состояния научно-технической мысли
того времени.
Тем не менее, в настоящее время СТО — бурно развивающаяся область
современной физики. Это результат огромного прогресса наблюдательной
астрономии, развития экспериментальной техники, впечатляющего продвижения в
теории.
Список использованных источников
1. “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский;
ОНТИ ; 1935 г., стр. 134
2. Полное собрание трудов, Л. И. Мандельштам; Том 5, стр. 172
3. А.Эйнштейн. К электродинамике движущихся сред. - М.: 1966.
4. "Общая теория относительности"; Н. В. Мицкевич; Москва., 1927 г
5. "Парадоксы теории относительности"; Я. П. Терлецкий; Москва., 1965 г.
6. Л.В. Тарасов, Современная физика в средней школе. М.: Просвещение,
1990.
7. В.Н. Дубровский, Я.А. Смородинский, Е.Л. Сурков, Релятивистский мир.
(Библиотечка "Квант", выпуск 34). М.: Наука, 1984.
8. Э.Тейлор, Дж. Уилер, Физика пространства - времени. М.: Мир, 1969.
9. И.И. Гольденблат, Парадоксы времени в релятивистской механике. М.:
Наука, 1972.
10. И.М. Гельфгат, Л.Э. Генденштейн, Л.А. Кирик, 1001 задача по физике с
ответами, указаниями, решениями. Москва - Харьков, Илекса. 1997.
11. И.И. Воробьев Теория относительности в задачах. М.: Наука, 1989.
12. П.В. Елютин, Г.А. Чижов, Словарь-справочник по элементарной физике.
Часть 3. М., 1995.
13. Эйнштейн, Л.Инфельд. Эволюция физики. - М.: 1966.
14. В.Л.Гинзбург. О теории относительности. - М.: Наука, 1970.
15. Г.Линдер. Картины современной физики. - М.: Мир, 1977.
16. А.В.Горелов. Элементы теории относительности- элементарное изложение
специальной теории относительности.
17. П.А.М.Дирак. Воспоминания о необычайной эпохе. - М.: Наука, 1990.
-----------------------
[pic]
Рис.1. Сферический треугольник
Рис. 2. Гравитационная линза. Осесимметричный случай.
S — источник, L — линза; O — наблюдатель
Рис.3. Гравитационная линза. Общий случай.
S — проекция источника на фронтальную плоскость,
L — проекция линзы, I1, I2 — изображения источника
Страницы: 1, 2, 3, 4
|