Проявление симметрии в различных формах материи

природе. Они проявляются, например, в так называемых смектических

жидких кристаллах. Последние состоят из пленок толщиной в 1-2 молекулы,

пленки лежат друг на друге, как листы в стопке бумаги, причем молекулы

в них одной своей осью расположены параллельно друг другу, а двумя

другими нет. Другие примеры-поле стоячих ультразвуковых волн в

жидкости, образованное сгущениями и разряжениями последней, а также

однородное световое поле, которое можно рассматривать как семиконтинуум

для плоских волн.

Пространственные семиконтинуумы II рода могут быть получены

переносом любых из одно- и двусторонних плоскостей, обладающих

симметрией бесконечных слоев. Простейшие примеры семиконтинуумов II

рода дает практика: с ними мы сталкиваемся при укладке стержней-

бревен, труб и т.д.

Перейдем теперь к рассмотрению полностью непрерывных во всех трех

направлениях пространств-континуумов. Пространственные континуумы могут

быть получены путем трех непрерывных взаимно перпендикулярных переносов

элементарных объектов, обладающих симметрией конечных фигур.

Примером симметрических пространственных континуумов являются

разнообразные физические поля. Евклидово пространство – также один из

примеров таких континнумов. Его можно получить непрерывным

«размножением» в трех направлениях точки, обладающей симметрией

обыкновенного шара( ?/??m). Пространство уже обычного электрического

поля, в котором направление «вперед» (по силовым линиям) отлично от

направления «назад» (против силовых линий), существенно отличается от

пространства Евклида. Такой континуум можно получить непрерывным

переносом в трех взаимно перпендикулярных направлениях одной точки с

симметрией обыкновенного круглого конуса(??m).

Как известно, в теории относительности была впервые выявлена

глубокая связь двух фундаментальных континуумов – пространственного и

временного. Поэтому особое значение среди различных физических

континуумов придается пространственно-временному, описываемому

ортохронной группой преобразований Лоренца. Она состоит из: 1) группы

вращений в пространственно-временных плоскостях на чисто мнимый угол,2)

группы трехмерных вращений, 3) группы пространственной инверсии.

Основной вывод, неизбежно следующий из рассмотрения свойств одно-

, дву-, трех-,четырех-,…,n-мерных континуумов, семиконтинуумов и

дисконтинуумов, - это вывод о бесконечном – количественном и

качественном разнообразии и одно- и двусторонних превращениях,

переходах одних реальных пространств и времен в другие.

Эти же выводы подтверждаются и общей теорией относительности,

согласно которой в «большом» – в масштабах Метагалактики – реальное

пространство- время глубоко неоднородно и неизотропно, хотя в «малом»

(например, в масштабах Солнечной ситемы) это пространство-время

псевдоевклидово. Однако это подход к малому пространству и времени

только с одной точки зрения. Тоже малое даже в бесчисленном множестве

«совсем малых» пространств и времен, если его рассматривать уже с

позиции геометрической симметрии, вернее кристаллографических аспектов,

обнаруживает также бесконечное разнообразие Материалы о плоских и

трехмерных реальных континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах

доказывают это совершенно строго.Приведем новые подтверждения

развиваемых здесь положений из области квантовой физики твердого тела.

Известно, что все атомы правилбной кристаллической решетки в

некотором приближении одинаковы. Они подобны музыкальным струнам,

настроенным на одну и ту же частоту, и вследствие этого при возбуждении

колебаний в одном из них способны резонировать, что приводит к волне,

бегущей через весь кристалл. Природа этих волн может быть очень

разнообразной - звуковой, магнитной, электрической и т.д. Согласно

общим законам квантовой механики, эти волны возникают и передаются

только в виде квантов энергии. Последние во многом аналогичны обычным

частицам, и их называют квазичастицами. Поскольку природа их

определяется структурой и химическим составом кристаллов, то их

разнообразие значительно более широко, чем разнообразие истинных

частиц.Сейчас известны такие квазичастицы, как фотоны (кванты звука),

электроны проводимости, магноны (спиновые волны), эквитоны, поляритоны

(светоэкзитоны) и многие дручие. Важность введения квазичастиц в теорию

твердого тела состояла в том, что во многих случаях кристалл оказалось

возможным трактовать с позиций невзаимодействующих или слабо

взаимодействующих квазичастиц.

Известно, что механику истинных частиц пронизывает принцип

относительности, выраженный лоренцовыми преобразованиями. Этот принцип

выражает однородность, изотропность пространства и однородность

времени, с которыми связаны разные законы сохранения. Это проявляется

также и в универсальности для механики всех истинных частиц зависимости

энергии E от импульса p: __________

Е=? E +c p

Где Е т с -энергия покоя, т – масса поко, с – скорость света в

вакууме.

Если с/м<

Это обычный квадратичный закон дисперсии.

Однако с переходом к квазичастицам положение радикально меняется!

И это прямо связано с резко иным характером малых кристаллических

пространств по сравнению с «пустым» пространством малого. Очень четко и

интересно резюмируют результаты такого перехода И.М. Лившиц и В.М.

Агранович. Они пишут, что для квазичастиц положение радикально

меняется, потому что «квазичастицы не в пустом пространстве,, не в

вакууме, а в кристаллическом пространстве, которое имеет симметрию,

отвечающую соответствующей пространственной группе кристалла. В связи с

этим имеется выделенная система отсчета и нет прежнего принципа

относительности. Поэтому нет и закона дисперсии, который имеет место

для истинных частиц. Вместо этого возникает сложный закон дисперсии

Е=Е(р), причем вместо импульса приходится говорить о квазиимпульсе, ибо

пространство уже неоднородно и закон сохранения импульса, который

является точным законом в однородном пространстве, в кристаллическом

пространствевыполняется с точностью до целочисленного вектора обратной

решетки, умноженной на h.

Закон дисперсии для квазичастиц существенно отличается от

элементарного закона Е=р /2т. Во-первых, Е(р) – периодическая функция

р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженному на h. Во-

вторых, имеется, вообще говоря, резкая анизотропия этого закона

дисперсии и, следовательно, анизотртпия всех свойств, определяемых

квазичастицами»ю

Далее. Для истинных частиц в зависимости Е=р /2т каждому Е

соответствуют поверхности, называемые поверхностями Ферми. В данном

случае это просто сферы, радиус которых растет пропорционально ?Е. Для

квазичастиц уже в пространстве квазиимпульсов функции Е=Е(р) при каждом

заданном Е соответствует периодически повторяющийся набор поверхностей

Ферми, которые иногда могут смыкаться в одну поверхность, проходящую

через все пространство. Придавая Е различные значения и изображая

графически в итоге всю функцию Е= Е(р), можно передать рисунком все

черты динамики квазичастиц. Получающиеся при таком подходе изображения

топологически очень сложны и чрезвычайно напоминают абстрактные

скульптуры. Они резко отличаются от примитивных по форме сфер.

Подобно истинным частицам одни из квазичастиц подчиняются

статистике Бозе- Эйнштейна и являются, стало быть, бозонами, другие –

Ферми-Дирака и являются фермионами.Но не всегда статистика квазичастиц

совпадает со статистикой истинных частиц. Так, в системе электронов

имеются квазичастицы-плазмоны, являющиеся бозонами, хотя, как известно,

свободные электроны являются фермионами.

2.КРИСТАЛЛЫ

2.2.1. История познания кристаллографической симметрии

Под кристаллографической симметрией в узком, или точном, смысле

обычно понимают такую симметрию (кристаллов), группы которой могут быть

полностью описаны с помощью простых, винтовых и зеркальных осей 1,2,3,4

и 6-го порядка оси переносов и плоскости скользящего отражения. При

этом трансляции, связанные с плоскостями скользящего отражения и

винтовыми осями, часто представляются конечными.

Кристаллографическая, или структурная, симметрия в широком смысле

от этих ограничений освобождена. Она включает первую как свой частный

случай и стало быть в принципе может быть представленагруппами и

симметрией, опивываемыми простыми, зеркальными и винтовыми осями любых,

в том числе 5,7,8,…,? порядков, а также осями переносов и плоскостями

скользящего отражения.

В истории познания Кристаллографической симметрии следует

остановиться на трех моментах, характеризующих диалектичность процесса

познания.

Во-первых, познание симметрии кристаллов и кристаллографической

симметрии шло по спиралям путем отрицания отрицания. Именно: от живого

созерцания – блещущей внешней формы кристаллов – к абстрактному

мышлению – их внутреннему решетчатому строению, а от него, с одной

стороны, к практике – к величайшему использованию кристаллов в

производстве и в быту, с другой- снова к внешней форме кристаллов, но

увиденной уже и изнутри.

Во-вторых, в познании кристаллографической симметрии весьма

интересна сама история названия этого вида симметрии.Учение о ней,

первоначально возникнув вне связи с изучением кристаллов, а затем тесно

с ним переплетаясь и получив свое наименование, решительно вышло — не

без старания самих кристаллографов — за рамки чисто «кристаллического»

представления о симметрии. И здесь снова шел сложный диалектический

процесс познания.

Третий момент отмечен В. И. Вернадским: «Кристаллография, — пишет

он, — стала наукой только тогда, когда первые основатели

кристаллографии в XVII в. Гульельмини и Стеноп, а главным образом в

XVIII в. Роме де Лиль, Гаюи правильно приняли за основу построения

научного исследования одно свойство природных кристаллов как основное и

оставили без внимания отклонения в наружной форме кристаллов от

идеальных многогранников геометрии как вторичные. Этим единым исходным

свойством был принят правильно закон постоянства гранных углов,

открытый независимо Гульельмини и Стснсепом, так называемый закон

Стенопа. Вторичными свойствами явились размеры и форма кристаллических

плоскостей и ребер кристаллических многогранников. Исходя из этого

построили реальные полиэдры—модели природных кристаллов, в которых

ребра и плоскости, теоретически являющиеся функцией гранных углов,

выявились в своей реальной величине и форме, нарушенных в природных

кристаллах проявлением поверхностных сил.

Эти силы оставлены были вначале без внимания.

Так получились идеальные полиэдры геометрии. Такие полиэдры были

впервые построены Роме де Лилем в XVIII столетии. Они называются

кристаллическими многогранниками». Идеальные по своей форме кристаллы

стали рассматриваться как... реальные с истинной симметрией, а

отклоняющиеся от них — как ложные с искаженной симметрией. Первые в

природе встречаются один на одну или даже несколько тысяч, с большим

трудом их удается получить в лабораторных условиях. Вторые составляют,

если можно так выразиться, сверхподавляющую часть природных кристаллов.

Они легко получаются в лабораторных условиях.

Результат такой ориентации известен: на протяжении столетий

наиболее часто встречающиеся, а потому поистине реальные «ложные»

кристаллы с искаженной симметрией оставались вне поля зрения

кристаллографов, что отрицательно сказалось на общем уровне учения о

реальных кристаллах, Се.ичас положение выправляется. И все же в таких

поворотах внимания кристаллографов было некоторое оправдание:

невозможно изучать само отклонение, не зная того, от чего оно

отклоняется...

Закон постоянства гранных углов Стенона впоследствии дал начало

учению о морфологической симметрии кристаллов — основе учения о

симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова

об особенных элементах фигуры: «Точка (прямая, плоскость) фигуры (или

ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми

операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы

существуют в фигурах в единственном числе». Центр сферы, ось конуса,

поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия,

плоскость; трехмерное пространство в классическом учении о

пространственной симметрии кристаллов — также особенный геометрический

элемент.

Существует несколько наименований фигур с особенными точками.

Чаще всего их называют конечными или строже точечными фигурами, реже —

фигурами симметрии нулевого измерения. Последние могут быть разделены

на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными

плоскостями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой

категории. К фигурам второй категории принадлежат так называемые

розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры

пуговицы, цветка растения, насекомого, детской бумажной вертушки,

фигуры травления на гранях кристалла; примеры двусторонних розеток -

решетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым рисунком с обеих

сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж ), снежинки, фигуры

млекопитающих, если смотреть на них сбоку (при другой ориентации они

предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех и

у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в

ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее

«лицо» отлично от «изнанки», а у двусторонних она не полярна и может

являться поэтому плоскостью симметрии.

По-видимому, будет правильно связать развитие учения о симметрии

нулевого измерения с построениями древними математиками таких типичных

конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь

должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам,

которые Г. Вейль удач

но назвал древним эквивалентом некоторых

современных классов групп симметрии конечных

фигур.

Далее в изучении симметрии кристаллов

наблюдается досадный более чем

полуторатысячелетний перерыв. Возобновившийся

после столь длительного застоя ход исследований

в сухом перечне дат и фамилий выглядит так.

1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение

угла (в 60° между отдельными лучами у снежинок и

гениально объясняет это их внутренним сложением

из шарообразных частиц. 1669 г. — Н. Стенсен

открыл закон постоянства углов у кристаллов

кварца и гематита.

1670 г. — Э. Бартолин (1625—1698) то же

свойство указал для кальцита; 1695 г. — А.

Левенгук (1632—1723) — для гипса (малых и

больших кристаллов); 1749 г. — М. В. Ломоносов

(1711—1765) — для кристаллов селитры, пирита,

алмаза и других, положив тем самым начало

русской кристаллографии.

Лишьь в 1783 г. Роме де Лиль (1736—1790)

распространил закон постоянства углов на все

кристаллы, проведя десятки тысяч измерении на

большом числе объектов. Результаты измерений —

итог всей жизни — он систематически докладывал

ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми

лекциями по кристаллографии. Закон постоянства

углов формулируется им в работе

«Кристаллография» так: «Грани кристалла могут

изменяться по своей форме и относительным

размерам,но их взаимные наклоны постоянны и

неизменны для данного рода кристаллов» .

В 1784—1801 гг. Р. Ж. Гаюи (1743—1822),

тщательно математически переработав данные Роме

де Лиля, установил другой важнейший закон

геометрической кристаллографии — закон целых

чисел (рациональных отношений параметров), с

которым непосредственно связан закон целых чисел

в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время

в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи

формулируется следующим образом: положение

всякой грани в пространстве можно определить

тремя целыми числами, если за координатные оси

взяты направления трех ребер кристалла, а за

единицу измерения — отрезки, отсекаемые на этих

осях гранью кристалла, принятой за единичную. X.

Венссом (1780—1856) в 1815 г. было предложено

деление кристаллов на сингонии (сейчас они

классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В

итоге всех исследований были сделаны два великих

открытия: открытие полных групп симметрии

кристаллов — морфологической (1830 г.) и через

60 лет структурной (1890 г.). Первое открытие на

основе закона целых чисел сделал в 1830 г.

малоизвестный при жизни марбургский профессор И.

Ф. Гессель (1796—1872), геометрически

доказавший, что внешняя форма кристаллов

описывается лишь 32 видами симметрии.

Одновременно он разработал полную теорию

симметрии конечных фигур и вывел бесконечное

множество видов их симметрии. Однако эта работа

осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя

и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский

ученый Л. В. Гадолин (1828—1892) . Замечательно,

что при жизни последнего эмпирически было

известно лишь 20 видов симметрии кристаллов.

Результаты Гесселя—Гадолина привели к выводу о

том, что фигуры симметрии нулевого измерения

полностью описываются бесконечным числом групп

(видов). Увеличение числа групп симметрии с 32

до ? объясняется просто: за счет учета и

запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е.

5, 7, 8, 9, 10,... и т. д., кроме ? , порядков.

Причина этого запрета стала понятна лишь после

раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она

связана с решетчатым расположением атомов, ионов

и молекул, в трехмерном пространстве (О. Бравэ и

др.).

История второго величайшего

открытия связана с постепенной кристаллизацией

понятия «кристаллическая решетка». Эта идея

витала в воздухе. На нее исходя из разных

соображений указывали многие.

Например, И. Кеплер приписывает

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5