Курсовая работа: Термодинамические основы термоупругости

Из определяющих уравнений (3.12)(или (3.20)) и (3.21) следуют физические соотношения для моделей упругой среды,принимающие форму обобщенного закона Гука. Компоненты девиатора напряжений (см. (3.21)) могут быть выражены через компоненты девиатора деформаций как . Отсюда в случае выражения среднего напряжения σ через среднюю деформацию ε из уравнения Бриджмена (3.12) следуют прямые физические соотношения в виде зависимостей компонент тензора напряжений от компонент тензора деформаций:

 (2.1.11)

Обратные физические соотношения (зависимости компонент тензора деформаций от компонент тензора напряжений) получаются аналогичным образам и имеют вид

 (2.1.12)

Обобщенный закон Гука описывает все частные проявления упругого поведения деформируемых сред, реализующиеся в простых случаях напряженно-деформированного состояния. Так, для деформированного состояния чистого сдвига (ε12 0,ε11 = ε22 = ε33 = ε13 = ε23 =0) согласно (2.1.12) реализуется напряженное состояние σ12 = 2Gε12,σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = σ23 =0 с прямо пропорциональной зависимостью касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Деформированному состоянию всестороннего равноосного растяжения или сжатия ε11 = ε22 = ε33 = ε  0, εij = 0 при i j) соответствует такое же напряженное состояние: σ11 = σ22 = σ33 = σ = 3Kε, σ12 = σ13 = σ23 =0.Напряженному состоянию одноосного растяжения (σ11 0, σ22 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0, σ = σ11/3 отвечает трехосное деформированное состояние: εij = 0 при i j и

 (2.1.13)

где Е = 18KG/(6K + 2G) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга), a v = (ЗК - 2G)/(6K + 2G) — коэффициент Пуассона.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v в дополнение к модулю сдвига G и модулю объемного сжатия К являются еще одной парой упругих характеристик, через которые может быть представлен обобщенный закон Гука. Выражая модуль объемного сжатия и модуль сдвига через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как

 ,  (2.1.14)

можно получить запись физических соотношений для моделей упругой среды в форме

;

.

Следует отметить, что имеющаяся взаимосвязь между парами упругих характеристик (2.1.14) позволяет ограничиться экспериментальным определением лишь двух из них с последующим расчетом двух других. Наиболее просто определяются из опытов значения модуля Юнга Е (одноосное растяжение образцов) и модуля сдвига G (кручение образцов с реализацией напряженно-деформированного состояния чистого сдвига).

Уравнения (2.1.8), (2.1.10) и (2.1.13) позволяют истолковать физический смысл упругих характеристик G, E, v, К. Как следует из (2.1.10), модуль сдвига G определяет касательные напряжения, возникающие в упругой среде при чистом сдвиге. В соответствии с (2.1.13) модуль Юнга Е определяет продольные деформации, возникающие при одноосном растяжении, а коэффициент Пуассона v — соотношение поперечной и продольной деформаций в этом же случае. Согласно уравнению Бриджмена (2.1.8), модуль объемного сжатия К определяет среднее напряжение в зависимости от объемной деформации в и, напротив, характеризует объемную деформацию, возникающую в частицах упругой среды, когда в них существует давление р = — σ:  = Зε = σ/К.

Важным частным случаем модели упругой среды является так называемая несжимаемая упругая среда, объем индивидуальных частиц, которой не изменяется при любом уровне давления (или среднего напряжения). Для такой среды , модуль объемного сжатия К = ∞, а коэффициент Пуассона v = 0,5 в соответствии с (2.1.14). Для реальных же твердых тел, обладающих сжимаемостью и по своим свойствам близких к модели упругой среды, коэффициент Пуассона v = 0,2...0,3.

Термодинамические особенности модели упругой среды определяются тем обстоятельством, что процесс адиабатического деформирования ее частиц является обратимым и в случае снятия нагрузок сопровождается самопроизвольным протеканием в обратном направлении с уменьшением до нуля напряжений и деформаций и возвратом в исходное состояние. Для такой среды отсутствует переход механической работы деформации во внутреннюю тепловую энергию (χ = 0), энтропия индивидуальных частиц может изменяться только за счет теплообмена с окружающими частицами:. Деформирование же упругой среды в адиабатических условиях () имеет изоэнтропический характер dS/dt =0.

Под сложными моделями сплошных сред понимаются модели, в которых учитываются два и более основных механических свойства. К числу таких моделей относятся, например, упругопластическая, вязкоупругая, вязкопластическая, упруговязкопластическая среды. В этом разделе рассматривается одна из сложных моделей — модель упругопластической среды, наиболее широко используемая при математическом моделировании процессов деформирования твердых тел. Модель упругопластической среды соответствует твердым телам (главным образом, металлам и их сплавам), которые при нагружении работают упруго, пока не выполняется некоторое предельное условие, называемое условием пластичности, а при дальнейшем нагружении такой среды в ней развиваются не только упругие, но и пластические деформации.

Для реальных упругопластических сред характерны диаграммы механического поведения (диаграммы деформирования)  подобные диаграмме, приведенной на рис. 1, в для мягкой стали (типа стали 10). В ряде случаев диаграммы деформирования реальных металлов могут несколько отличаться от показанной на рис. 1,в в сторону усложнения (например, включать участок нелинейной упругости) или в сторону упрощения (например, для некоторых металлов отсутствует площадка текучести и после упругого участка сразу происходит переход к участку упрочнения) и включать дополнительные характерные точки: в первом случае такой точкой является предел упругости, больший предела пропорциональности, а во втором — условный предел текучести, соответствующий заданному уровню остаточной пластической деформации. Однако при построении модели упругопластической среды, как правило, пренебрегают такими тонкими особенностями и рассматривают идеализированные диаграммы механического поведения, подобные показанным на рис.1. Наиболее часто в качестве таких идеализированных диаграмм механического поведения рассматриваются диаграммы для идеальной упруго-пластической среды, для которой пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности ассоциируются с одним и тем же значением (рис.1,а) и для упругопластической среды с линейным (рис.1,б) или нелинейным (рис. 1, в) упрочнением.

Рисунок 1

Возможными вариантами упрощенных диаграмм механического поведения являются диаграммы идеальной жесткопластической среды (рис.1,г) или жесткопластической среды с упрочнением (рис. 1, д), причем для двух последних случаев характерно отсутствие упругого участка (упругими деформациями по сравнению с пластическими пренебрегают).

Модель упругопластической среды является сложной не только по формальному признаку (принимаются во внимание свойства упругости и пластичности), но и с точки зрения уровня сложности математического описания. Отметим, что в случае малых деформаций (превышающих упругие, но соизмеримых с ними) модель упругопластической среды хорошо описывается деформационной теорией пластичности (теория малых упругопластических деформаций). При больших (конечных) деформациях для описания поведения упругопластических сред более предпочтительна теория пластического течения.

2.2 Постановка задач в механики сплошных сред

Прикладное значение механики сплошных сред заключается в том, что она создает фундамент для физико-математического моделирования процессов взаимодействия деформируемых тел и сред. С помощью формулируемых в механике сплошных сред уравнений и соотношений удается составить замкнутую систему уравнений, решение которых позволяет исследовать поведение деформируемых сред и получать информацию о параметрах их движения и состояния. В настоящее время именно физико-математическое моделирование с позиций механики сплошных сред является наиболее мощным инструментом расчетно-теоретического исследования функционирования различных технических объектов, как существующих, так и проектируемых. В качестве примеров прикладных задач, необходимость решения которых возникает при изучении функционирования газодинамических импульсных устройств, можно указать задачи обтекания тел вращения воздушным потоком (рис. 2, а), проникания тел вращения в плотные и прочные среды (рис. 2, б, в), метания металлических облицовок продуктами детонации взрывчатого вещества (рис. 2, г), схлопывания конических металлических облицовок под действием приложенного давления с формированием кумулятивной струи (рис. 2, д) и т.п.

Однако решению задачи обязательно предшествует весьма важный этап формализации рассматриваемого физического процесса: его описание в виде соответствующей системы

Рисунок 2

уравнений, соотношений и определенных условий, т.е. решению задачи предшествует так называемая постановка задачи или же формулировка физико-математической модели изучаемого процесса взаимодействия деформируемых тел или сред. Далее приведем общие принципы постановки задач механики сплошных сред с различными физико-механическими свойствами и последовательно проанализируем особенности постановки задач механики идеальной и вязкой жидкостей, упругой и упругопластической сред. При этом основное внимание уделим этапам составления замкнутой системы исходных уравнений, получению системы разрешающих уравнений и различных частных ее видов, особенностям задания граничных условий. Постановку задачи механики упругопластической среды рассмотрим в полном объеме на примере процесса проникания металлического тела в металлическую преграду.

Постановка задачи механики сплошных сред заключается в составлении такой замкнутой системы уравнений и соотношений, которая бы описывала движения и состояние деформируемых сред с учетом их физико–механических свойств, действия внешних сил, тепловых и других факторов и позволяла определять зависимости характеризующих движение и состояние физических величин от координат и времени и т.п.

Постановка любой задачи механики сплошных сред включает следующие пять этапов:

—  выбор системы отсчета и системы координат, по отношению к которым будет описываться движение материального континуума;

—  выбор моделей сплошных сред для участвующих в исследуемом процессе реальных деформируемых сред;

—  составление системы исходных уравнений для выбранных моделей и исследуемого процесса;

— выбор основных неизвестных характеристических функций и переход к так называемой системе разрешающих уравнений;

— формулировка начальных и граничных условий для решаемой задачи.

2.2.1 Выбор системы отсчета и системы координат. В большинстве случаев при постановке прикладных задач выбираются инерциальные системы отсчета, неподвижные относительно земной поверхности. Как известно, выбор такой системы отсчета позволяет использовать при математическом описании движения законы механики Ньютона, в частности уравнение движения (2.1.2), являющееся выражением второго закона Ньютона применительно к сплошным деформируемым средам. Например, для показанного (на рис. 2, б) случая проникания тела вращения в плотную среду в качестве точки отсчета удобно принять неподвижную относительно Земли точку 0 начала взаимодействия проникающего тела с плотной средой. В некоторых более редких случаях допустимо и более удобно использование неинерциальных систем отсчета. Например, при решении задачи расчета характеристик напряженно-деформированного состояния проникающего тела — оболочки вращения — и оценке его прочности удобнее связать систему отсчета с самим тормозящимся в процессе проникания телом. Однако в этом случае в соответствии с принципом Даламбера следует включить в число внешних сил объемные силы инерции, для чего необходимо предварительное определение ускорения проникающего тела.

Выбор конкретного вида системы координат  произволен и определяется, прежде всего, соображениями удобства и простоты математического описания движения. Так, при решении задачи пространственного обтекания тела воздушной средой (см. рис. 2, а) все параметры движения и состояния газа зависят от трех координат и времени (трехмерная нестационарная задача). В этом случае целесообразно выбрать наиболее простую систему координат — декартову прямоугольную систему координат (х1 = х, х2 = у, х3 = z). При проникании тела вращения в преграду по нормали к ней (см. рис. 2, б) очевидна осевая симметрия движения, в этом случае наиболее целесообразен выбор цилиндрической системы координат (х1 = r, х2 =, х3 = z), в которой вектор скорости движения частиц имеет лишь две отличные от нуля компоненты υT и υZ а также отсутствует зависимость параметров движения и состояния деформируемой среды от угловой координаты  (двумерная осесимметричная нестационарная задача). В еще более геометрически простом случае взрыва сферического заряда, инициируемого в центре, движение обладает точечной симметрией, поэтому наиболее удобно принять для описания движения сферическую систему координат (х1 = r, х2 =, х3 = φ), которая обеспечивает зависимость параметров движения и состояния среды лишь от одной радиальной координаты r и времени t (одномерная нестационарная задача с центральной симметрией).

2.2.2 Выбор модели сплошной среды и составление системы исходных уравнений. Выбор модели сплошной среды для участвующей в исследуемом процессе реальной деформируемой среды базируется на анализе особенностей поведения этой среды в отношении сопротивления деформированию, на выделении основных факторов и игнорировании второстепенных. Этап выбора модели заканчивается определением конкретного вида физических соотношений (2.1.7), ближе всего соответствующих особенностям физико-механического поведения реальной деформируемой среды.

Например, при решении прикладной задачи проникания тела вращения в воду с относительно небольшой начальной скоростью взаимодействия 100 м/с в качестве модели реальной деформируемой среды (воды) вполне допустимо принять модель идеальной жидкости. Действительно, реальные жидкости обладают свойством сжимаемости и вязкости и в то же время не оказывают сопротивления непосредственно изменению формы своих частиц. При малых скоростях деформации, соответствующих малым скоростям взаимодействия, можно также пренебречь влиянием вязкости и вообще не учитывать появление касательных напряжений, используя для описания физико-механического поведения физические соотношения , присущие модели идеальной среды.

Следует отметить, что достаточно часто выбор модели сплошной среды применительно к процессам, происходящим в экстремальных условиях (например, к взрывным и ударным), осуществляется итерационным путем, так как заранее трудно предсказать, какие именно физико-механические свойства реальных сред будут определяющими, а какими можно пренебречь. В таких случаях последовательно используют все более сложные модели, а критерием удовлетворительности выбораявляется соответствие получаемых расчетным путем результатов, имеющимся экспериментальным данным.

Система исходных уравнений – это замкнутая система уравнений и соотношений которая полностью описывает движение и состояние деформируемых сред с учетом их физико-механических свойств. В самом общем виде система исходных уравнений имеет следующий вид [53]:

, (2.2.1)

, (2.2.2)

, (2.2.3)

, (2.2.4)

, (2.2.5)

, (2.2.6)

. (2.2.7)

Система исходных уравнений в обязательном порядке включает основные общие для всех сплошных сред дифференциальные уравнения механики, выражающие фундаментальные законы сохранения массы (2.2.1), импульса (2.2.2), энергии (2.2.3), а также общие для всех сред кинематические соотношения (2.2.4) и (2.2.5) и геометрические соотношения (2.2.6). Индивидуальные особенности рассматриваемой деформируемой среды в отношении оказания сопротивления деформированию учитываются физическими соотношениями (2.2.7), обязательно включаемыми в систему исходных уравнений согласно выбранной модели сплошной среды.

В зависимости от конкретного вида физических соотношений (2.2.7) и от характера процесса деформирования среды в систему исходных уравнений для обеспечения ее замкнутости могут быть включены дополнительные уравнения и соотношения. Например, при отсутствии влияния температуры на физико-механическое поведение рассматриваемой среды физические соотношения имеют вид  и для адиабатического процесса  система уравнений (2.2.1)—(2.2.7) является замкнутой и содержит 26 уравнений и соотношении и такое же количество искомых характеристических функций (см. раздел 2.1). Напротив, в случаях зависимости компонент тензора напряжений от температуры или же при учете теплообмена между частицами сплошной среды и необходимости определения температурного поля в систему исходных уравнений необходимо включать дополнительные соотношения, учитывающие закон теплопроводности Фурье , где λ — коэффициент теплопроводности) и взаимосвязь между удельной внутренней энергией и температурой (Е = Е(ρ,Т)).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5