Расчет тарифных ставок в страховании

страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы

(S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее

величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты

страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год,

то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в

возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет

заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;

- если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.

- В силу финансовой эквивалентности:

S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

- Умножим и разделим данное выражение на vx, тогда:

nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx

*(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)

Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1

nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n)

- Если страхование пожизненное, то nAx= Mx/Dx

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется

посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t

лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей,

ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является

случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи

прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму

страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено,

так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен

учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую

сумму, но и премии.

- Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие

выражение: S*(P+P*px*v+P*2px*v2+P*3px*v3+…+P*t-1pxvt-1) = S*dx/lx*v+

S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

- P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)= (Mx-Mx+n)/Dx

- P*( 1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)* (vx/vx)= (Mx-

Mx+n)/Dx

- [pic]

- [pic]

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой

поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом

(страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является

отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут

вносится в начале года – пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В

зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в

страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором

производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах.

Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в

пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

Виды страховых аннуитетов.

|Пояснение |Формула |

|Постнумерандо. |

|Аннуитет пожизненный, |[pic] |

|немедленный – лицу, | |

|начиная с возраста х лет | |

|пожизненно в конце года | |

|выплачивается по 1 рублю. | |

|Аннуитет отложенный на n |[pic] |

|лет, пожизненный – | |

|уплачивается пожизненно | |

|лицу в возрасте x+n лет по| |

|одному рублю в конце | |

|каждого года. | |

|Аннуитет немедленный, |[pic] |

|ограниченный – | |

|выплачивается лицу в | |

|возрасте x лет в течение t| |

|лет, по 1 рублю, в конце | |

|каждого года. | |

|Аннуитет отложенный на n |[pic] |

|лет, ограниченный – лицу, | |

|в конце каждого года | |

|выплачивается по 1 рублю, | |

|начиная с возраста n лет, | |

|до возраста t лет. | |

|Пренумерандо. |

|Аннуитет |Вы|[pic] |

|пожизненный, |пл| |

|немедленный |ат| |

| |ы | |

| |пр| |

| |ои| |

| |зв| |

| |од| |

| |ят| |

| |ся| |

| |в | |

| |на| |

| |ча| |

| |ле| |

| |го| |

| |да| |

| |. | |

|Аннуитет | |[pic] |

|отложенный на| | |

|n лет, | | |

|пожизненный | | |

|Аннуитет | |[pic] |

|немедленный, | | |

|ограниченный | | |

|Аннуитет | |[pic] |

|отложенный на| | |

|n лет, | | |

|ограниченный | | |

|Соотношения|[pic] |[pic] |

|Рента уплачиваемая k раз в год. |

|Для ограниченной |[pic] |[pic] |

|ренты | | |

|Для пожизненной |[pic] |[pic] |

|ренты. | | |

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе

негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный

процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные

взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций

свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в

виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида:

1. Нефондируемые – выплата пенсий осуществляется из текущих поступлений. В

этом случае страховые тарифы не рассчитываются.

2. Накопительные – для выплаты пенсий создаются специализированные фонды.

Они в свою очередь делятся также на три вида схем страховых выплат:

- Сберегательные – данная схема не учитывает вероятность дожития каждого

участника фонда, предусматривается наследование накоплений, отсутствует

солидарность участников в обеспечении выплат (при смерти одного из

участников его вклад не идет на выплату пенсий), оговаривается конкретный

срок выплат.

- Страховые – участники солидарны между собой, учитывается вероятность

дожития застрахованных, нет наследования накоплений.

- Смешанные сберегательно-страховые – здесь предусматривается

последовательное использование описанных выше схем, то есть, например, в

период накопления применяется сберегательная схема, а в период выплат –

страховая.

Расчет тарифных ставок в пенсионном страховании основывается на

принципе финансовой эквивалентности (равенстве обязательств). С

практической точки зрения основа всех расчетов – страховые аннуитеты. При

применении любой из пенсионных схем с использованием специализированного

фонда необходимо решить две задачи:

1. Определение размера пенсии по величине установленных взносов ( расчет

величины взносов по заданным размерам пенсии)

2. Расчет страховых резервов.

Условные обозначения, используемые в расчетах.

|Переменная |Описание. |

|-R- |Годовая сумма пенсии |

|-E- |Размер единовременного взноса |

|-A- |Сумма, накопленная на индивидуальном счете, на начало выплат |

| |пенсий. |

|-x- |Возраст застрахованного в момент заключения договора. |

|-L- |Возраст выхода на пенсию. |

|-w- |Возраст в момент окончания действия контракта. |

|-n- |Срок накопления, n=L-x |

|-t- |Срок выплат пенсий, t=w-L |

Сберегательные схемы.

В данном случае пенсия представляет собой финансовый аннуитет, в

котором не учитываются вероятности дожития до определенного возраста, то

есть, что человек вкладывает, то он и получает, с учетом доходности на

вложенные средства. Рассчитывать пенсии можно двумя методами:

1. Взносы уплачиваются единовременно. Данная схема отображена на графике.

Видно, что после уплаты в фонд первоначальной суммы, она накапливается с

годами (срок n лет), пропорционально норме доходности до момента начала

выплат пенсий. После чего накопленные в фонде средства постепенно

расходуются, до тех пор, пока не кончатся совсем (срок t лет). В силу

финансовой эквивалентности, некоторые из приведенных на графике

обозначений можно объединить следующим выражением: [pic]

2. Премия уплачивается в рассрочку. Здесь схема похожа на предыдущую, это

подтверждает график, нарисованный справа. Разделенные на равные части

премии представляют собой поток платежей, поэтому накопление происходит

медленнее, чем в первом случае, при прочих равных условиях. Период выплат

такой же, как и в первом случае. Математически данную схему можно

отобразить следующим выражением:[pic]

Преобразовывая приведенные выше равенства, не составит труда

определить как размер требуемой пенсии, та к и размер необходимой величины

премии, которую нужно внести в пенсионный фонд для обеспечения себя нужной

пенсией. Кроме этого, можно определить срок , в который необходимо внести

платеж, для обеспечения заданной величины пенсии, или срок в течении

которого будет уплачиваться накопленная в фонде пенсия.

Страховые схемы.

По сути дела пенсионное страхование является одним из видов

страхования на дожитие. Если бы пенсия выплачивалась разовой выплатой, то

эти два вида страхования были бы полностью одинаковыми. Существенным

отличием здесь является то, что пенсия представляет собой страховой

аннуитет. То есть каждая последующая выплата зависит от вероятности дожития

лица до следующей выплаты. Кроме этого, все платежи приводятся здесь к

начальному моменту времени (момент вклада первого взноса).

Нетто-премия в данном виде страхования может быть определена при двух

условиях, когда она вносится единовременно и когда платежи вносятся в

рассрочку. Система определения нетто-тарифов основывается на принципе

финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя,

поэтому, приведенные ниже тождества отличаются от предыдущих лишь

некоторыми нюансами.

1. Нетто-премия вносится единовременно. Здесь нетто тариф равен стоимости

аннуитета , соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия –

произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Условия выплат, в данном

случае, влияют на применяемый в расчетах вид аннуитета. Рассмотрим

некоторые из них:

- Пенсия буде выплачиваться с возраста x лет пожизненно, в начале года:

[pic]

- Пенсия будет выплачиваться с возраста x+n лет пожизненно, в начале года:

[pic]

Зная формулы для определения аннуитетов, можно определить размер пенсии и

размер нетто-премий для любого варианта пенсионного обеспечения.

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Для обеспечения себя достаточной

пенсией нужно вносить в пенсионный фонд большую сумму средств, которой мы

не всегда располагаем, или достаточно большим интервалом времени до

момента выплат пенсий, что чревато риском развала страховой компании и

прочими рисками, связанными с нестабильностью политических и

экономических систем. Удобным вариантом вложения средств является данная

схема, которая позволяет не в ущерб себе и близким вносить часть доходов

в пенсионный фонд, обеспечив себя в будущем должной пенсией. Платежи

можно вносить как ежемесячно, так и раз в год. Здесь буде рассмотрен 2-ой

вариант. В данном случае, как размер пенсии, так и вкладываемые средства

зависят от вероятности дожития, поэтому, в приведенных ниже уравнениях

финансовой эквивалентности, как слева, так и справа используются

страховые аннуитеты. Например, взносы делаются раз в год начиная с

возраста x лет до возраста x+t лет, а пенсия выплачивается с возраста

x+n лет, пожизненно. Как взносы, так и пенсии уплачиваются в конце

каждого года: [pic]. Если взносы производятся в начале года, то в данном

случае применяется аннуитет пренумерандо: [pic].

Так применяя различные виды аннуитетов, можно построить различные

варианты пенсионных схем. Здесь, как и везде выше, все равенства строятся

по принципу финансовой эквивалентности обязательств страхователя и

страховщика. Исходя из составленных равенств, можно определить помимо

ежегодных взносов, размер ежегодной пенсии и наоборот.

Страховые резервы.

При уплате страхователем страховой премии выполняет свои финансовые

обязательства, и обязывает страховщика отвечать по договору страхования. То

есть страховщик, по сути, становится кредитором страхователя. И если

наступает страховой случай, то страховщик обязуется уплатить страхователю

страховую сумму. Чтобы суметь произвести обещанные выплаты, страховщику

необходимо создать резервы.

В личном страховании существуют резервы двух типов:

- резервы по страховым случаям, подлежащим урегулированию (резервы по уже

произошедшим, но не оплаченным страховым событиям)

- резервы по текущим (действующим) договорам.

Страховой резерв отражает долг страховщика перед страхователем.

Обязательства страховщика носят вероятностный характер, так как страховой

случай может не произойти, и все средства страхователя останутся у

страховщика, долг исчезнет. Кроме того выплаты страховых премий и страховой

суммы не совпадают во времени, а, следовательно, имеет место эффект

накопления. Поэтому при расчете математических резервов необходимо

использовать современную вероятную стоимость обязательств.

Схема баланса компании по страхованию жизни.

|Актив |Пассив |

|Инвестиции |Собственные фонды |

| |Математические резервы |

|Прочие активы |Другие обязательства |

Из данной схемы видно, что математические резервы – это разница между

обязательствами компании и обязательствами перед компанией. Исходя из

приведенных выше рассуждений, можно изменить данное определение, а, именно,

Страницы: 1, 2, 3, 4