Контрольная работа: Сопротивление материалов
;
.
При
кН;
.
При м
кН;
кН∙м.
Поскольку уравнение
изгибающего момента – уравнение параболы, то для построения эпюры определим еще
одно значение момента:
при м
кН∙м.
Участок II :
;
.
При м
кН;
кН∙м.
При м
кН;
кН∙м.
Участок III :
;
.
При
кН;
.
При м
кН;
кН∙м.
3. По полученным
ординатам строим эпюры и балки (рис.5, в, г).
Рис. 5. Расчетные схемы к
задаче 4
4. Условие прочности
деревянной балки записывается в виде
, (1)
где – максимальный
изгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающих
моментов имеем кН∙м;
– момент сопротивления сечения
при изгибе; для сечения прямоугольной формы
,
где ммм – ширина прямоугольного
сечения балки;
ммм – высота прямоугольного сечения
балки;
м3;
– допускаемые напряжения при
изгибе; для дерева принимаем МПа.
Проверяем несущую
способность деревянной балки
ПаМПа,
что значительно больше
допускаемых напряжений. Следовательно, несущая способность балки не
соблюдается.
Ответ: Прочность балки недостаточна.
Задача 5
Для двухопорной балки
подобрать сечение двутавра из условия прочности.
Проверить прочность по
касательным напряжениям. Построить эпюры и для сечений, в которых и . Нагрузку
принять состоящей: 1) из 80% постоянной, коэффициент перегрузки 2) из 20% временной,
коэффициент перегрузки .
Данные для задачи своего
варианта взять из табл. 5 и схемы на рис. 12.
Таблица 5
Вариант |
|
|
, кН/м
|
, кН∙м
|
м |
49 |
4 |
4 |
12 |
6 |
Решение
1. Определяем
действительные значения нагрузок, действующих на балку, используя метод расчета
предельного состояния по несущей способности.
При этом расчетное усилие
в балке (в нашем случае и ) определяем как сумму усилий от
каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих
каждой нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим
кН∙м;
кН/м.
2. Выполняем расчетную
схему согласно исходных данных (рис.6,а).
Отбросим опоры и заменим
их влияние на балку опорными реакциями и (рис.6, б). Учитывая
симметричность конструкции, получим
кН.
2. Балка имеет три
участка. Обозначим через расстояние от левого или правого
концов балки до некоторого его сечения. Составим выражения для поперечных сил и изгибающих
моментов ,
возникающих в поперечных сечениях балки и по ним установим значения ординат
эпюр в ее характерных сечениях.
Участок I :
;
.
При
кН;
кН∙м.
При м
кН;
кН∙м.
Участок II :
;
.
При м
кН;
кН∙м.
При м
кН;
кН∙м.
Так как на концах участка
II поперечная сила меняет свой знак с
плюса на минус, то на данном участке изгибающий момент принимает максимальное
значение.
Из условия найдем абсциссу сечения, в
котором действует изгибающий момент :
,
откуда
м.
Тогда при м
кН∙м.
Участок III :
;
.
При
кН;
.
При м
кН;
кН∙м.
3. По полученным
ординатам строим эпюры и балки (рис.6, в, г).
Рис. 3. Расчетные схемы к
задаче 3
4. Определяем из условия
прочности необходимый момент сопротивления сечения
, (1)
где – максимальный
изгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающих
моментов имеем кН∙м;
– момент сопротивления сечения
при изгибе;
– допускаемые напряжения при
изгибе; принимаем для стали Ст3
МПа.
Из выражения (1) находим
требуемый момент сопротивления сечения
м3см3.
Для подбора сечения балки
в виде двутавра используем таблицу сортамента [1, с.283], откуда выбираем для
заданного сечения балки двутавр № 40, для которого см3. Перегрузка при
этом составит
,
что вполне допустимо
(< 3%).
5. Построим эпюры и для сечений, в
которых и
.
Сечение С (расположено посередине пролета ). В данном
сечении действуют только нормальные напряжения, так как поперечная сила равна
нулю.
Нормальные напряжения
вычисляем по формуле Навье
.
В данном сечении кН∙м, кН.
Данные для двутавра №40: мм; мм; мм; мм; см2;
см4;
см3.
Обозначим характерные
точки по высоте сечения (рис.7).
Точка 1:
ммм;
ПаМПа.
Поскольку изгибающий
момент положительный, то точки 1 и 2 лежат в сжатой зоне и напряжения в этих
точках имеют отрицательный знак.
Точка 2:
ммм;
ПаМПа.
Точка 3:
, так как . Ось, проходящая через точку 3,
называется нейтральной осью.
Точки 4 и 5. В этих
точках значения нормальных напряжений те же, что и в точках 2 и 1, только
положительные, так как точки 4 и 5 лежат в растянутой зоне.
МПа;
МПа.
По полученным значениям
строим эпюру (рис.7).
Рис.7. Эпюра нормальных
напряжений в сечении С
Сечение D. Здесь действует максимальная
поперечная сила кН, а изгибающий момент равен кН∙м.
Касательные напряжения вычисляем по
формуле
.
В точках 1 и 5 (рис.8).
Точки 2 и 4. Вычисляем
статический момент площади поперечного сечения
,
где – отсеченная часть
площади поперечного сечения;
– координата центра тяжести
отсеченной площади.
м3.
При мм
ПаМПа.
При мм
ПаМПа.
Точка 3. Это точка,
расположенная на уровне нейтральной оси. Для нее имеем [2, с.257]
м3.
ПаМПа.
Нормальные напряжения в
сечении D
ПаМПа (сжатие);
МПа (растяжение).
Строим эпюры напряжений в
сечении D (рис.8).
Рис. 8. Эпюра касательных
напряжений в сечении А
Максимальное касательное
напряжение имеет место на нейтральной линии, то есть МПа.
Допускаемое касательное
напряжение по 3-й теории прочности принимаем равным МПа.
Следовательно, для балки
двутаврового сечения
МПа<96МПа.
Условие прочности
выполняется.
Задача 6
Подобрать сечение
равноустойчивой центрально сжатой колонны из двух швеллеров или двутавров (в
зависимости от варианта выполняемой задачи), соединенных планками способом
сварки. Материал - сталь Ст3, расчетное сопротивление МПа. Данные для задачи своего
варианта взять из табл. 7 и рис. 13. Принять .
Вариант |
Схема на рис. |
, м
|
, МН
|
|
|
|
|
% от
|
49 |
V |
6 |
0,6 |
30 |
70 |
1,3 |
1 |
Решение
1. Определяем
действительное значение нагрузки, действующей на колонну, используя метод
расчета предельного состояния по несущей способности.
При этом расчетное усилие
в колонне (в нашем случае ) определяем как сумму усилий от
каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих
данной нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим
МНкН.
2. Равноустойчивость
колонны во всех направлениях будет обеспечена при равенстве моментов инерции
относительно осей и . Момент инерции сечения
относительно оси не зависит от расстояния , поэтому
подбор сечения произведем, учитывая это обстоятельство.
3. Принимая в качестве
первого приближения значение коэффициента , находим площадь поперечного
сечения колонны
м2см2.
Из таблиц сортамента [1,
с.284] выбираем два швеллера № 30, для которых суммарная площадь сечения равна см2.
Наименьший радиус инерции
из той же таблицы для составного сечения
см.
Определяем гибкость колонны
.
Коэффициент из табл.X.1[1] получаем равным .
Повторим расчет, принимая
.
Далее находим
м2см2.
Из таблиц сортамента [1,
с.284] выбираем два швеллера № 20а, для которых суммарная площадь сечения равна
см2;
см.
Гибкость колонны при этом будет равна
.
Коэффициент из табл.X.1 получаем равным .
Еще раз повторим расчет,
приняв
.
Далее получаем
м2см2.
Выбираем швеллер № 18а.
Тогда см2;
см.
Гибкость
.
Коэффициент продольного
изгиба при этом равен .
Еще раз произведем расчет
.
Далее получаем
м2см2.
Выбираем швеллер № 18.
Тогда см2;
см.
Гибкость
.
Коэффициент продольного
изгиба при этом равен и очень мало отличается от . Расчет
заканчиваем и принимаем швеллер № 18, для которого см4; см4; см2.
Момент инерции сечения
колонны относительно оси равно
см4.
Момент инерции сечения
колонны относительно оси равно
.
Условие равноустойчивости
имеет вид
.
Подставляя сюда значения
моментов инерции, получим
,
откуда находим расстояние
от центра тяжести швеллера до оси
см.
Определяем длину пластин
см
Ответ: Сечение колонны: два швеллера № 18,
соединенные пластинами длиной см способом сварки.
Список использованной
литературы
1. Степин П.А. Сопротивление
материалов. М.: Высшая школа, 1983.
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С.
Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1989.
3. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов.
М.: Высшая школа, 1986.
|