Реферат: Эконометрические методы управления качеством и сертификации продукции

Н0:  p11 = p1 p2  (22)

(что эквивалентно проверке равенства p00 = (1 - p1)(1 - p2)). Нетрудно проверить, что гипотеза о справедливости равенства (22) эквивалентна гипотезе

 Н0 : p00 p11 - p10 p01  = 0. (23)

В простейшем случае предполагается, что проведено n независимых испытаний (Xi , Yi), i = 1,2,...,n, в каждом из которых проконтролированы два альтернативных признака, а вероятности результатов контроля не меняются от испытания к испытанию. Общий вид статистических данных приведен в табл.5.

Табл. 5.

Общий вид результатов контроля

по двум альтернативным признакам.

В табл.5 величина a - число испытаний, в которых (Xi , Yi) = (0,0), величина b - число испытаний, в которых (Xi , Yi) = (1,0), и т.д.

Случайный вектор (a, b, c, d) имеет мультиномиальное распределение с числом испытаний n и вектором вероятностей исходов (p00 , p10 , p01 , p11 ). Состоятельными оценками этих вероятностей являются дроби a/n, b/n, c/n, d/n соответственно. Следовательно, критерий проверки гипотезы (23) может быть основан на статистике

Z = ad - bc . (24)

Как вытекает из известной формулы для ковариаций мультиномиального вектора (см., например, формулу (6.3.5) в учебнике С.Уилкса [14] на с. 153),

М(Z) = n (p10 p01  - p00 p11), (25)

что равно 0 при справедливости гипотезы независимости (23).

Связь между переменными X и Y обычно измеряется коэффициентом, отличающимся от Z нормирующим множителем:

V = (ad - bc) { (a + b)(a + c)(b + d)(c + d) } - 1/2(26)

(см. классическую монографию М. Дж. Кендалла и А. Стьюарта [15, с.723], на которую уже были ссылки, в частности, в главе 5). При справедливости гипотезы Н0 и больших n случайная величина nV2 имеет хи-квадрат распределение с одной степенью свободы, а n1/2V имеет стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (см. [15, с.736]).

Рассмотрим еще один пример. Пусть проведено 100 испытаний, результаты которых описаны в табл.6. Тогда

V = (50 . 20 - 10 . 20) (60 . 70 . 30 . 40)-1/2 =

= (1000 - 200) . 5940000-1/2 = 800 / 2245 = 0,35635,

n1/2V = 3,5635  .

Табл. 6.

Результаты 100 испытаний

по двум альтернативным признакам.

Поскольку полученное значение n1/2V превышает критическое значение при любом применяемом в статистике уровне значимости, то гипотезу о независимости признаков необходимо отклонить.

К сожалению, приведенный простой метод годится не всегда. При статистическом анализе реальных данных возникают проблемы, связанные с отсутствием достаточно больших однородных выборок, т.е. выборок, в которых постоянны параметры вероятностных распределений. Реально единицы продукции представляются на контроль партиями, из каждой партии контролируются лишь несколько изделий, т.е. малая выборка. При этом от партии к партии меняются параметры p00, p10, p01, p11, описывающие уровень дефектности. Поэтому необходимы статистические методы, позволяющие проверять гипотезу независимости признаков по совокупности малых выборок. Построим один из возможных методов.

Рассмотрим вероятностную модель совокупности k малых выборок объемов n1 , n2 ,..., nk соответственно. Пусть j -я выборка (Xjt , Yjt), t = 1, 2,..., nj , имеет распределение, задаваемое вектором параметров (p00j, p10j, p01j, p11j) в соответствии с ранее введенными обозначениями, j = 1,2,...,k .  Будем проверять гипотезу

Н0:  p11j = (p10j + p11j) (p01j + p11j), j = 1,2,...,k, (27)

или в эквивалентной формулировке

 Н0 :  p11j p00j -  p10j p01j , j = 1,2,...,k .(28)

Основная идея состоит в нахождении асимптотического распределения статистики типа n1/2V при росте числа k малых выборок, а именно, статистики

 S = g1 Z1 +  g2 Z2 + ... +  gk Zk , (29)

где Z1 , Z2 ,..., Zk - статистики, рассчитанные по формуле (24) для каждой из k  выборок, т.е. Zj = ajdj - bjcj , j = 1,2,...,k, а g1 , g2 , ... , gk - некоторые весовые коэффициенты, которые, в частности, могут совпадать. Поскольку

 М(S) = g1 М(Z1) +  g2 М(Z2) + ... +  gk М(Zk),(30)

то при справедливости гипотезы независимости (27) - (28) имеем М(S) = 0 согласно соотношению (25). Поскольку слагаемые в сумме (29) независимы, то при росте k случайная величина S в силу Центральной Предельной Теоремы является асимптотически нормальной. Дисперсия этой величины равна сумме дисперсий слагаемых:

 D(S) = g12 D(Z1 ) +  g22 D(Z2) + ... +  gk2 D(Zk) . (31)

Для оценивания дисперсии S необходимо использовать несмещенные оценки дисперсий в каждой из k выборок (и в этом одна из основных "изюминок" разбираемого метода). Предположим, что построены статистики Tj такие, что

М(Tj) = D(Zj) , j = 1,2,...,k .  (32)

Тогда при некоторых математических "условиях регулярности", на которых нет необходимости здесь останавливаться, несмещенная оценка дисперсии статистики S, имеющая согласно формулам (31) и (32) вид

 L = g12 T1 +  g22 T2 + ... +  gk2 Tk , (33)

в силу закона больших чисел такова, что дробь  D(S) / L приближается к 1 при росте числа выборок (сходимость по вероятности). Отсюда следует, что распределение случайной величины Q = S L-1/2 приближается при росте числа выборок к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Следовательно, критерий проверки гипотезы (27) - (28) независимости признаков, состоящий в том, что при - 1,96 < Q < 1,96 гипотеза принимается, а при Q , выходящих за пределы интервала  (- 1,96; 1,96) , гипотеза отклоняется, имеет уровень значимости, приближающийся к 0,05 при росте числа выборок. Мощность этого критерия зависит от величины М(S)D(S)-1/2 при альтернативе.

Для реализации намеченного плана осталось научиться несмещенно оценивать D(Zj). К сожалению, в литературе по несмещенному оцениванию не рассматривают случай мультиномиального распределения, поэтому кратко опишем процедуру построения несмещенной оценки D(Zj). Поскольку согласно формулам (24) и (25)

D(Zj) = М( Zj2 ) - (М( Zj ))2  = М (aj2dj2) - 2 М (ajbjcjdj) +

+ М (bj2cj2) + nj2 (p11j p00j  -  p10j p01j)2, (34)

то для вычисления D(Zj) достаточно найти входящие в правую часть формулы (34) начальные смешанные моменты мультиномиального распределения (четвертого порядка). Теоретически это просто - известен вид характеристической функции мультиномиального распределения (см., например, формулу (6.3.4) в монографии [14, с.152]), а начальные смешанные моменты равны значениям ее соответствующих производных в 0,  деленным на нужную степень мнимой единицы (формула (5.2.3) в монографии [4, с.131]). Например, с помощью описанной процедуры после некоторых вычислений получаем, что (для упрощения записи здесь и далее опустим индекс j)

М (a2d2) = n(n-1)(n-2)(n-3)p11 2p002 + n(n-1)(n-2)(p112p00 +

+ p11 p002 ) + n(n-1)p11 p00 . (35)

Формула (35) показывает, что начальные смешанные моменты мультиномиального распределения являются многочленами от параметров p11, p00, p10, p01 этого распределения, однако конкретный вид этих многочленов достаточно громоздок, поэтому не будем их здесь выписывать, ограничившись формулой (35) в качестве образца.

Как вытекает из формул (34) и (35), для построения несмещенной оценки  D(Zj) достаточно научиться несмещенно оценивать произведения типа p11rp00m , где целые неотрицательные числа r, m не превосходят 2. Эта задача решается, начиная с меньших  степеней. Известно, что для ковариации мультиномиального вектора

М (ad) = - n p00 p11(36)

(см., например, формулу (6.3.5) в монографии [14, с.153]), а потому несмещенной оценкой для p00 p11 является ( - ad / n ). Далее, поскольку справедлива аналогичная (35) формула

М(a2d) = n(n-1)(n-2) p11p002 + n(n-1)p11p00 ,(37)

то с помощью формулы (36) преобразуем формулу (37) к виду

М(a2d + (n-1)ad) = n(n-1)(n-2)p11p002 ,(38)

т.е. несмещенной оценкой p11p002 является ad(a + n-1){n(n-1)(n-2)}-1.

Следующий шаг - аналогичным образом с помощью формул (36) и (38) получаем несмещенную оценку для p112p002, а затем и для D(Zj) . Промежуточные формулы опущены из-за громоздкости. Окончательный результат таков:

Tj =  ( bj + dj )(cj + dj)(aj+ cj)(aj + bj)(n-1)-1 . (39)

Как легко видеть,

Zj / Tj-1/2 = (nj -1)1/2 Vj  ,

т.е. в случае одной выборки предлагаемый метод совпадает с классическим.

Общая идея рассматриваемого метода проверки гипотез по совокупности малых выборок состоит в том, что подбирается статистика, математическое ожидание которой для каждой малой выборки равно 0 при справедливости проверяемой гипотезы. Затем для каждой выборки строится несмещенная оценка дисперсии этой статистики. Итоговая статистика критерия для проверки гипотезы - это сумма рассматриваемых статистик для всех малых выборок, деленная на квадратный корень из суммы всех несмещенных оценок дисперсий рассматриваемых статистик. При справедливости нулевой гипотезы эта итоговая статистика имеет в асимптотике стандартное нормальное распределение (при выполнении некоторых математических "условий регулярности", которые обычно выполняются при анализе реальных статистических данных). 

Впервые такой способ проверки гипотез по совокупности малых выборок был предложен в монографии [16, раздел 4.5]. Нестандартность постановки состоит в том, что число неизвестных параметров растет пропорционально объему данных, т.е. имеет место т.н. "асимптотика Колмогорова", или асимптотика растущей размерности. Дальнейшее развитие применительно к данных типа "да"-"нет" (или "годен" - "дефектен") шло в рамках теории люсианов как части статистики объектов нечисловой природы (см. главу 8).

Эконометрика качества и сертификация

Как уже отмечалось, вслед за экономически развитыми странами в России намечается всё расширяющаяся тенденция к сертификации продукции, т.е. к официальной гарантии поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. Поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг, т.е. производственная и  коммерческая  политика, нацеленная на получение максимальной прибыли на основе изучения рынка, создания конкурентоспособной продукции и ее полной реализации, включает в себя работы по сертификации.

Не будем останавливаться на быстро меняющейся организационной стороне процесса сертификации и соответствующих отечественных и зарубежных нормативных документах, а также на различных системах сертификации. Как общие проблемы сертификации, так  и выбор схемы сертификации для конкретной продукции активно обсуждаются в печати. Приведем лишь несколько замечаний, необходимых для дальнейшего изложения.

Напомним, что, говоря о сертификации продукции, могут иметь в виду качество конкретной ее партии. В ряде случаев это оправдано - рядового потребителя интересует качество лишь той единицы продукции, которую он приобрел. Однако установление долговременных хозяйственных связей целесообразно лишь в случае, когда поставщик гарантирует высокое качество не одной, а всех партий своей продукции. Другими словами,  должны быть проведены оценка и сертификация технологических процессов и производств.

Еще больше повышается доверие к поставщику, если не только отдельные технологические процессы, но и всё предприятие в целом гарантированно выпускает продукцию высокого качества. Это обеспечивается действующей на предприятии системой качества, удовлетворяющей требованиям Международной организации по стандартизации ИСО.

В условиях рыночной экономики одна из основных характеристик товара - его конкурентоспособность. Очевидно, производителю необходимо уметь оценивать конкурентоспособность перед запуском продукции в производство или началом работы по продвижению на зарубежный рынок (подробнее см. рекомендации [2]). Следует отметить, что в литературе имеются различные мнения по поводу понятия "конкурентоспособность". В частности, нельзя согласиться  с крайне упрощенным подходом в учебнике [17],  в котором конкурентоспособность сводится к соотношению цен на внутреннем и внешнем рынках. Достаточно напомнить о таких приемах конкурентной борьбы, как демпинг и (недобросовестная) реклама, таможенные пошлины и квоты.

Одним из основных компонентов конкурентоспособности продукции является ее технический уровень. В западных учебниках справедливо отмечают, что фирма, обладающая патентом  или новой научно-технической разработкой, имеет более высокий “излишек производителя” по сравнению с другими фирмами (см., например, учебники [18-20]). В частности, согласно одному из наиболее популярных западных учебников [21] при выборе направления инвестиционных вложений одна из основных учитываемых характеристик - технический уровень продукции.

Из сказанного вытекает, что сертификация материалов и других видов продукции - это современная форма управления качеством  продукции. На Западе общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции - это статистические методы (см., например, отчет Комитета ИСО по изучению принципов стандартизации [3]). В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством (КС УКП), к сожалению, сводилось во многом всего лишь к подготовке документации организационного характера. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, прежде всего из-за недостаточной подготовки кадров, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки (см. ниже). Ситуация в области применения статистических методов и причины нашего отставания достаточно подробно разобраны в публикациях [4, 22].

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7