Построение и исследование динамической модели портального манипулятора
обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная
масса m. Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом [pic].
Исходными данными для расчета такой модели будут: значение подвижной массы
m, плечо приложения этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого
ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на
жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.
При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать
движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б
займут положение [pic] и [pic]соответственно, затем остановятся и под
действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать
колебательное движения.
Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим
независимые обобщенные координаты как [pic], [pic] и [pic]. Для описания
данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:
|[pic] (j = 1,2,…,k), |(2.1)|
где T ( кинетическая энергия системы; Q ( обобщенная сила; k ( количество
степеней свободы.
Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является
однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:
|[pic], |(2.2)|
Коэффициенты [pic]являются функциями координат [pic], [pic] и [pic].
Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения
равновесия, где [pic].
Располагая коэффициенты [pic] по степеням и пологая для упрощения
записи [pic], получим:
|[pic] |(2.3)|
Потенциальная энергия [pic] системы:
|[pic] |(2.4)|
При этом учитываем, что в положении равновесия [pic] обобщенные силы также
обращаются в нуль.
В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:
[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме
уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через
обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют
силы [pic][pic]…,[pic]. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого
равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил [pic]
отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).
Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу
возможных перемещений должна быть равна нулю:
|[pic]. |(2.5)|
Замечая, что
|[pic] | |
а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях
[pic], [pic] и [pic], получаем три уравнения:
|[pic], |(2.6)|
Здесь [pic], [pic] и [pic] ( обобщенные силы для системы сил [pic]
[pic] …,[pic], уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при
отклонении системы из положения равновесия [pic]. Заменяя в (2.6)
производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим
систему уравнений, определяющих значение координат [pic], [pic] и [pic] в
положении равновесия:
|[pic], |(2.7)|
причем [pic], [pic] и [pic].
Решение системы (2.7) имеет вид:
|[pic], |(2.8)|
где
|[pic] |(2.9)|
[pic].
На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные
силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях
упрощения [4, 5] силу сопротивления принимают пропорциональной первой
степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол [pic] мал
и координаты массы m можно записать как [pic]. Поэтому на основании
кинетостатики можем записать:
|[pic], |(2.10)|
где [pic] ( обобщенная сила, [pic] ( коэффициент сопротивления
пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса
собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней
рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что
точка исследования колебаний (практически ( рабочий орган манипулятора)
совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.
Сила [pic] действует на все звенья манипулятора следовательно:
|[pic] |(2.11)|
Коэффициенты [pic]в (2.7) будем определять из того, что согласно
(2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим
сначала, что [pic] действует только по координате [pic], затем только по
координате [pic] и наконец только по координате [pic], тогда в выражение
(2.7) можно переписать:
|[pic], |(2.12)|
таким образом [pic], используя (2.9) находим:
|[pic] |(2.13)|
| | |
Коэффициенты [pic], [pic] и [pic] определяют податливость звеньев
манипулятора по координатам [pic], [pic] и [pic] соответственно. Выражая
податливость звеньев через их жесткость, запишем:
|[pic], |(2.14)|
где [pic], [pic] и [pic] жесткости звеньев по координатам [pic],
[pic] и [pic] соответственно.
Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:
|[pic] |(2.15)|
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m
через их составляющие:
|[pic]. |(2.16)|
Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально
определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так
как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты
которой выражаются как [pic], то для этого достаточно сложить уравнения в
выражении (2.15):
|[pic] |(2.17)|
или:
|[pic], |(2.18)|
где С ( суммарная жесткость звеньев манипулятора.
Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от
плеча приложения l сосредоточенной массы m.
Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс
в системе:
|[pic]. |(2.19)|
Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих
начальных условиях:
|[pic] [pic], |(2.20)|
где [pic] - скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на
конечную точку.
Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:
|[pic], |(2.21)|
где [pic] и [pic] ( произвольные постоянные, которые могут быть
определены из начальных условий: при t = 0; [pic] и [pic] ( корни
характеристического уравнения:
|[pic]. |(2.22)|
Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:
|[pic] |(2.23)|
Определим произвольные постоянные [pic] и [pic], решая систему
уравнений:
|[pic]. |(2.24)|
Решение системы (2.24) будет иметь вид:
|[pic], |(2.25)|
если учесть (2.20) то:
|[pic] |(2.26)|
подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:
|[pic] |(2.27)|
где [pic] ( реальная часть; [pic] ( мнимая часть.
Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:
|[pic]. |(2.28)|
Учитывая что:
|[pic], |(2.29)|
имеем:
|[pic] |(2.30)|
Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):
|[pic] |(2.31)|
Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него
значение допустимой погрешности позиционирования:
|[pic], |(2.32)|
где [pic] ( допустимая погрешность позиционирования.
Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени
переходного процесса:
|[pic] |(2.33)|
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования [pic] в модели
используются экспериментально полученные зависимости. В частности
коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний
рабочего органа.
Таким образом, время переходного процесса, для данного типа
манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по
выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования
предварительно определены экспериментально.
2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Источниками возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его
свободная консоль.
На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости
коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего
органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в
таблицы 2.1 и 2.2.
Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня
существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного
перемещения: так при увеличении начального натяжения ремня от минимального
значения ? = 0,03778 до максимального ? = 0,00667 (в исследуемых приделах)
коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно
сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной
передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах, как на этапе
конструирования, так и в процессе его эксплуатации.
|Табл. 2.1 |
|Результат| | | | | |
|ы анализа| | | | | |
|осциллогр| | | | | |
|амм | | | | | |
|собственн| | | | | |
|ых | | | | | |
|колебаний| | | | | |
|рабочего | | | | | |
|органа | | | | | |
|манипулят| | | | | |
|ора | | | | | |
|МРЛ-901П | | | | | |
|на | | | | | |
|консоли | | | | | |
|Величина |Период |Частота |Логарифмический |Коэффициент |Время |
|смещения |колебаний |колебаний |декремент |демпфирования |затухания |
|рабочего |рабочего |?, с-1 |затухания ? |?, кг/c |колебаний |
|органа |органа T, | | | |tп.п., с. |
|вдоль |с. | | | | |
|консоли | | | | | |
|ly, мм | | | | | |
|0 |0,057 |17,54 |0,956 |369 |0,6 |
|175 |0,067 |15 |0,693 |227,55 |0,9 |
|350 |0,08 |12,5 |0,446 |122,65 |1,2 |
Анализ результатов исследований показывает, что смещение рабочего
органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, также как и
| |
|Табл. 2.2 |
|Резуль| | | | | | | | | | |
|таты | | | | | | | | | | |
|исслед| | | | | | | | | | |
|ований| | | | | | | | | | |
|демпфи| | | | | | | | | | |
|рующих| | | | | | | | | | |
|свойст| | | | | | | | | | |
|в | | | | | | | | | | |
|модуля| | | | | | | | | | |
|линейн| | | | | | | | | | |
|ого | | | | | | | | | | |
|переме| | | | | | | | | | |
|щения | | | | | | | | | | |
|с | | | | | | | | | | |
|ременн| | | | | | | | | | |
|ой | | | | | | | | | | |
|переда| | | | | | | | | | |
|чей | | | | | | | | | | |
| |Номер |Случайный |Степень | | |Логарифм| |Коэффици| |Среднее |
|Номер |параллельного |порядок |начального |Период | |ический | |ент | |время |
|опыта |опыта |проведения |натяжения |колебаний| |декремен| |демпфиро| |затухания |
| | | | |Т, с. | |т | |вания ?,| | |
| | | | | | |затухани| |кг/c | | |
| | | | | | |я ? | | | | |
| | |опытов |ремня ? |парал-лел|среднее |парал-ле|среднее |парал-ле|среднее|колебаний |
| | | | |ьные | |льные | |льные | |tп.п., с |
| | | | |опыты | |опыты | |опыты | | |
| |1 |3 | |0,1 | |1,15 | |460,15 | | |
| |2 |1 | |0,102 | |1,23 | |482,35 | | |
|1 |3 |12 |0,03778 |0,113 |0,105 |1,383 |1,253 |489,72 |477,33 |0,4 |
| |4 |7 | |0,108 | |1,258 | |465,91 | | |
| |5 |11 | |0,102 | |1,244 | |488,52 | | |
| |1 |4 | |0,125 | |0,85 | |272,12 | | |
| |2 |15 | |0,128 | |0,815 | |254,68 | | |
|2 |3 |10 |0,02 |0,117 |0,12 |0,756 |0,8 |258,3 |266,67 |0,45 |
| |4 |9 | |0,115 | |0,79 | |275,08 | | |
| |5 |14 | |0,115 | |0,789 | |273,17 | | |
| |1 |6 | |0,12 | |0,486 | |162,11 | | |
| |2 |5 | |0,12 | |0,493 | |164,25 | | |
|3 |3 |3 |0,0067 |0,132 |0,128 |0,496 |0,504 |150,32 |157,47 |0,6 |
| |4 |8 | |0,14 | |0,544 | |155,43 | | |
| |5 |2 | |0,128 | |0,5 | |155,24 | | |
увеличение начального натяжения ремня, вызывает уменьшение коэффициентов
демпфирования, что существенно (в 2…3 раза) увеличивает время полного
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|